数列的极限,1是极限数列吗

数列的极限，1是极限数列吗？

数列{x(n)}收敛于1,那么1就是这个数列的极限.具体定义如下：

任取e>0,存在N,当n>N时,有 |x(n)-1|1.

数列{x(n)}收敛于1,那么1就是这个数列的极限.具体定义如下：

任取e>0,存在N,当n>N时,有 |x(n)-1|1.

数列{x(n)}收敛于1,那么1就是这个数列的极限.具体定义如下：

任取e>0,存在N,当n>N时,有 |x(n)-1|1.

判断数列不极限方法有哪些？

1极限不存在

①极限为无穷大时,极限不存在。

②左右极限不相等。

2极限存在与否的判断

1、结果若是无穷小，无穷小就用0代入，0也是极限。

2、若是分子的极限是无穷小，分母的极限不是无穷小，答案就是0，整体的极限存在。

3、如果分子的极限不是无穷小，而分母的极限是无穷小，答案不是正无穷大，就是负无穷大，整体的极限不存在。

4、若分子分母各自的极限都是无穷小，那就必须用罗毕达方法确定最后的结果。

3极限的存在准则

有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。

1.夹逼定理：（1）当x∈U(Xo,r)(这是Xo的去心邻域，有个符号打不出）时，有g（x)≤f(x)≤h(x)成立

（2）g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那么，f(x)极限存在，且等于A。不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。

2.单调有界准则：单调增加（减少）有上（下)界的数列必定收敛。

在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数，并且要满足极限是趋于同一方向，从而证明或求得函数的极限值。

3.柯西准则

数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时，都有|am-an|<ε成立

当数列的极限是？

有了实数集的基础就可以进入正题——极限。

先说明几个符号的意义

“∀”——代表“任何”、“任意”。

“∃”——代表“存在”。

为了“线性”书写形式的方便，将采用中括号“[]”表示某些“非线性”书写形式（即利用此将其改变成“线性形式”），如

lim[n→∞] X(n)

∑[i=1,n] X(i)

∫[a,b] f(x)dx

一）数列及其极限的定义

数列是函数的一种特殊形式，即其自变量只取自然数，一般表示为{X(n)}，其中n∈N。由于自然数n只可能取无穷大为其极限点，所以数列也只有n趋向于无穷时的极限。

设{X(n)}是一个数列，A是一个实常数。如果对于任意给定的ε>0，存在正整数N，对于任何n>N，成立|X(n) - A|<ε，则称数列{X(n)}收敛于A（或称A是数列{X(n)}的极限）。记为

lim[n→∞] X(n) = A

上面的文字描述可以采用下述符号表述法：

lim[n→∞] X(n) = A ↔ ∀ε>0,∃N,∀n>N(|X(n)-A|<ε)

数列的这个极限定义形式通常被称为(ε-N)分析描述语言。此类分析描述语言是由柯西和魏尔斯特拉斯发明的。

二）魏尔斯特拉斯定理

单调有界数列必有极限。

证明：

不妨设数列{X(n)}单调增加且有上界。根据确界存在定理，由{X(n)}构成的数集必有上确界A。任意给定ε>0，A-ε必然不是数集{X(n)}的上界，即存在N使得A>X(N)>(A-ε)。由于数列{X(n)}是单调增加的，所以对于任何n>N，成立A>X(n)>(A-ε)，即|X(n)-A|<ε。同理可证数列{X(n)}单调减小且有下界的情况。证毕。

三）柯西-康托尔原理（闭区间套定理）

如果{[a(n),b(n)]}构成一个闭区间套，即[a(n),b(n)]⊇[a(n+1),b(n+1)]，且lim[n→∞] (b(n)-a(n)) = 0。则存在唯一实数c属于所有的闭区间[a(n),b(n)]，且c是数列{a(n)}和{b(n)}的极限。

证明：

由题设，显然数列{a(n)}和{b(n)}是单调有界数列，则其必有极限分别设为A和B。由于lim[n→∞] (b(n)-a(n)) = B - A = 0，即A = B（设其为c），则

lim[n→∞] a(n) = lim[n→∞] b(n) = c

由于a(n)≤c≤b(n)，可见c属于所有闭区间[a(n),b(n)]。证毕。

四）波尔察诺-魏尔斯特拉斯定理

有界数列必有收敛子列。

证明：

设数列{X(n)}有界，于是存在a1和b1成立a1≤X(n)≤b1。等分闭区间[a1,b1]得两个闭区间[a1,(a1+b1)/2]和[(a1+b1)/2,b1]，其中至少有一个含数列{X(n)}中无穷多项，记为[a2,b2]。按此过程继续可得一个闭区间套{[an，bn]}，显然(bn-an) = (b1-a1)/2^(n-1)，即lim[n→∞] (bn-an) = 0。由闭区间套定理可知存在实数c属于所有闭区间[an,bn]，且lim[n→∞] an = lim[n→∞] bn = c。

现在构造数列{X(n)}的一个子列。任取数列{X(n)}中的一项X(n1)，显然此项必在闭区间[a1,b1]内。由于闭区间[a2,b2]内含有无穷多个数列{X(n)}的项，在其内选一个X(n2)且n2>n1。按此过程继续可得数列{X(n)}的一个子列{X(nk)}，其通项X(nk)必在闭区间[ak,bk]内，则有关系

ak≤X(nk)≤bk

由极限的夹逼性可得

lim[n→∞] = c

证毕。

五）柯西收敛原理

先定义基本数列：

如果数列{X(n)}具有如下特性

∀ε>0,∃N,∀n>N∧∀m>N(|X(n)-X(m)|<ε)

则称此数列为基本数列。

数列{X(n)}收敛的充分必要条件是它是个基本数列。

证明：

先证必要性。如果数列{X(n)}收敛于A，按收敛定义有

∀ε>0,∃N,∀n>N∧∀m>N(|X(n)-A|<ε/2∧|X(m)-A|<ε/2)

则有

|X(n)-X(m)|≤|X(n)-A|+|X(m)-A|<ε

即数列{X(n)}是个基本数列。

再证充分性。如果数列{X(n)}是个基本数列，对于选定的固定值ε，存在N，当m和n都大于N时成立

|X(n)-X(m)|<ε

现再固定m，显见X(n)有界，即数列{X(n)}是个有界数列。由波尔察诺-魏尔斯特拉斯定理可知有界数列{X(n)}必有收敛子列{X(nk)}，设其收敛于A，即lim[k→∞] X(nk) = A。

因为{X(n)}是基本数列，故∀ε>0,∃N1,∀n>N1∧∀nk>N1(|X(n) - X(nk)|<ε/2)。又由于lim[k→∞] X(nk) = A，则∃N2,∀nk>N2(|X(nk)-A|<ε/2)。取N=max(N1,N2)，当∀n>N∧∀nk>N时有

|X(n)-A|≤|X(n)-X(nk)|+|X(nk)-A|<ε

即数列{X(n)}收敛（lim[n→∞] X(n) = A）。证毕。

六）实数系基本定理的等价性

前面分别给出了五个实数系基本定理以及它们的证明。从其证明的过程可以发现有下列推导关系

实数连续公理→确界存在定理→魏尔斯特拉斯定理→柯西-康托尔原理（闭区间套定理）→波尔察诺-魏尔斯特拉斯定理→柯西收敛原理

此外，还存在如下的推导关系

柯西收敛原理→柯西-康托尔原理（闭区间套定理）→确界存在定理

由此可见，实数系的五个基本定理是完全等价的。

七）数列极限的性质和四则运算

下面简单罗列一下数列极限的一些性质和运算法则：

1）数列极限的唯一性

2）收敛数列的有界性

3）收敛数列的保序性

4）数列极限的夹逼性

5）数列极限的运算法则

a）lim[n→∞] (a X(n) + b Y(n)) = a lim[n→∞] X(n) + b lim[n→∞] Y(n)

b）lim[n→∞] (X(n) Y(n)) = lim[n→∞] X(n) lim[n→∞] Y(n)

c) 如果lim[n→∞] Y(n) ≠ 0，则lim[n→∞] (X(n)/Y(n)) = lim[n→∞] X(n) / lim[n→∞] Y(n)

数列之积求极限？

求极限的常用方法：

1。函数的连续性

2。等价无穷小代换

3。“单调有界的数列必有极限”定理

4。有界函数与一个无穷小量的积仍为无穷小量

5。两个重要极限（sinx/x=1,e）

6。级数的收敛性求数列极限

7。罗必塔法则

8。定积分的定义

为什么数列的极限唯一？

如果数列存在极限，那么数列的极限是唯一的，证明如下：

证明：假设数列an收敛于实数A和实数B，其中A≠B，不妨假设A<B。那么对于任给的e，总存在N>0，使得对于任意的n≥N，总有 |an-A|<e 取e=(B-A)/2，那么对于任意的n≥N，必有 |an-A|<(B-A)/2 即A-(B-A)/2<an<A+(B-A)/2 即（3A-B）/2<an<(A+B)/2。